MATEMATICAS

MODULO 3
INTEGRAL INDEFINIDA

ÁREA BAJO LA CURVA
Enseguida, graficaremos una función en un intervalo [a,b] y se mostrará el área contenida entre su gráfica y el eje x en

Igual que con el problema de la tangente, empezaremos por hacer aproximaciones. Aproximaremos el área bajo la curva con el área de ciertos rectángulos.
int_graf_02.gif (5443 bytes)

Dada una función f(x)>0 en un intervalo [a,b], para encontrar el área bajo la curva procedemos como sigue:

Hacemos una partición (dividimos) del intervalo [a,b] en n-subintervalos iguales de longitud x=(b-a)/n. Esta será la longitud de la base de cada uno de los n rectángulos.
En cada subintervalo escogemos un valor especial de x para evaluar la función. A este valor lo denotamos como x* y entonces f(x*) es la altura del rectángulo en ese subintervalo.
Ahora sumamos las áreas de los n rectángulos. El área de los n rectángulos es entonces:

n
	[ f(x)(x)*]
k=1

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO

El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisis matemático o cálculo.

El teorema es fundamental porque hasta entonces el cálculo aproximado de áreas -integrales- en el que se venía trabajando desde Arquímedes, era una rama de las matemáticas que se seguía por separado al cálculo diferencial que se venía desarrollando por Isaac Newton, Isaac Barrow y Gottfried Leibniz en el siglo XVIII y dio lugar a conceptos como el de las derivadas. Las integrales eran investigadas como formas de estudiar áreas y volúmenes, hasta que en ese punto de la historia ambas ramas convergieron, al demostrarse que el estudio del "área bajo una función" estaba íntimamente vinculado al cálculo diferencial, resultando la integración, la operación inversa a la derivación.

Una consecuencia directa de este teorema es la regla de Barrow, denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, y que permite calcular la integral de una función utilizando la integral indefinida de la función al ser integrada.

Dada una función f integrable sobre el intervalo

[a,b]

, definimos F sobre

[a,b]

por

F(x) = {\int_{a}^x f(t)dt}

. Si f escontinua en

c \in (a,b)

, entonces F es derivable en

c

y F'(c) = f(c).

Consecuencia directa del primer teorema fundamental del cálculo infinitesimal es:

$\frac{d}{dx}{\int_{a(x)}^{b(x)}f(t)dt} = f(b(x)) \cdot b'(x) - f(a(x)) \cdot a'(x)$

Ejemplos[editar]

F(x) = \int_{0}^{x} t^2 dt \quad\Rightarrow\quad F'(x) = x^2

G(x) = \int_{0}^{e^{3x}} \sin(t) dt \quad\rightarrow\quad G'(x) = \sin(e^{3x}) e^{3x} \cdot3

H(x) = \int_{0}^{x^2} \arcsin(t) dt\quad \rightarrow\quad H'(x) = \arcsin(x^2) \cdot 2x

I(x) = \int_{0}^{x^2} \arcsin(t) dt\quad \rightarrow\quad I'(x) = \arcsin(x^2) \cdot 2x

J(x) = \int_{0}^{\int_{a}^{x} \frac{1}{(1+\sin^2t)}dt} \frac{1}{(1+\sin^2t)} dt\quad \rightarrow\quad J'(x)= \frac{1}{(1+\sin^2(\int_{a}^{x} \frac{1}{(1+\sin^2t)}dt))} \,\cdot\, \frac{1}{(1+\sin^2x)}

INTEGRAL DEFINIDA

Dada una función f(x) y un intervalo [a,b], la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b.

La integral definida se representa por .

∫ es el signo de integración.

a límite inferior de la integración.

b límite superior de la integración.

f(x) es el integrando o función a integrar.

dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra

Propiedades de la integral definida

1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.

2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.

3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].