MODULO 1
 INTRODUCCIÓN AL CALCULO DE DOS VARIABLES


La primera parte del curso se ha centrado en el estudio de las funciones de una variable,
f : R → R
El siguiente paso en complejidad lo representan las funciones de dos variables. f : R
2 → R Estas
funciones se representan a menudo mediante el sımbolo:
z = f(x, y)
(esta mezcla de notaci´on z y f es com´un).
Es posible representar gr´aficamente una de estas funciones f : R
2 → R mediante su gr´afica:
graf(f) = ©
(x, y, z) ∈ R
3
| (x, y) ∈ U, z = f(x, y)
ª
Esta grafica es, hablando informalmente, una superficie en R
3
: sobre cada punto (x, y) del plano
xy dibujamos un punto (x, y, z) a altura z = f(x, y). El conjunto obtenido al dibujar las im´agenes
de todos los puntos (x, y) de U es la gr´afica de f.
Ejemplo 1.1. El ejemplo m´as sencillo (sin ser constante) de una de estas funciones es un
polinomio de grado 1, de la forma:
z = f(x, y) = ax + by + c, con a, b, c constantes
Esta funci´on tan sencilla tiene, naturalmente una gr´afica sencilla. La gr´afica est´a formada por
los puntos del plano

z = ax + by + c

DERIVADAS PARCIALES 

En matemática, una derivada parcial de una función de diversas variables, es su derivada respecto a una de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial y geometría diferencial.
La derivada parcial de una función f respecto a la variable x se representa con cualquiera de las siguientes notaciones equivalentes:

Donde  es la letra 'd' redondeada, conocida como la 'd de Jacobi'.
Cuando una magnitud  es función de diversas variables (,,,), es decir:

Al realizar esta derivada obtenemos la expresión que nos permite obtener la pendiente de la recta tangente a dicha función  en un punto dado. Esta recta es paralela al plano formado por el eje de la incógnita respecto a la cual se ha hecho la derivada y el eje z.
Analíticamente el gradiente de una función es la máxima pendiente de dicha función en la dirección que se elija. Mientras visto desde el álgebra lineal, la dirección del gradiente nos indica hacia donde hay mayor variación en la función.

MAXIMOS Y MINIMOS DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES

Máximos

Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo o localsi se cumple:

1. f'(a) = 0

2. f''(a) < 0

Mínimos

Si f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo o local si se cumple:

1. f'(a) = 0

2. f''(a) > 0

Cálculo de los máximos y mínimos relativos

f(x) = x³ − 3x + 2

1. Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces.

f'(x) = 3x² − 3 = 0

x = −1 x = 1.

2. Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada primera y si:

f''(x) > 0 Tenemos un mínimo.

f''(x) < 0 Tenemos un máximo.

f''(x) = 6x

f''(−1) = −6 Máximo

f'' (1) = 6 Mínimo

3. Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.

f(−1) = (−1)³ − 3(−1) + 2 = 4

f(1) = (1)³ − 3(1) + 2 = 0

Máximo(−1, 4) Mínimo(1, 0)

Ejercicios

CONCLUSIÓN
Mi conclusion sobre este modulo es que las funciones en dos variables se me hiso mas facil este tema, esta un poco menos complicado que los demas.