martes, 25 de noviembre de 2014

MODULO 2
 INTEGRACIÓN

 ANTI DERIVADA

La antiderivada es la función que resulta del proceso inverso de la derivación, es decir, consiste en encontrar una función que, al ser derivada produce la función dada.
Por ejemplo:
Si f(x) = 3×2, entonces, F(x) = x3, es una antiderivada de f(x). Observe que no existe una derivada única para cada función. Por ejemplo, si G(x) = x3+ 5, entonces es otra antiderivada de f(x).
La antiderivada también se conoce como la primitiva o la integral indefinida se expresa de la siguiente manera: en donde: f(x) es el integrando; dx, la variable de integración o diferencial de x y C es la constante de integración.
Notación
La notación que emplearemos para referirnos a una antiderivada es la siguiente:
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Teorema
Si dos funciones h y g son antiderivadas de una misma función f en un conjunto D de números reales, entonces esas dos funciones h y g solo difieren en una constante.

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Conclusión: Si g(x) es una antiderivada de f en un conjunto D de números reales, entonces cualquier antiderivada de f es en ese conjunto D se puede escribir comoMonografias.comc constante real.
Fórmula que relaciona la integral definida y la indefinida
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A la hora de resolver una antiderivada o integral indefinida se deben tener disponibles los recursos aritméticos y heurísticos. Estos son:
  • Concepto.
  • Propiedades.
  • Reglas de integración.
  • Integrales inmediatas.
  • Métodos clásicos de integración:
-Integración por sustitución.
-Integración por partes.
-Integración de fracciones racionales mediante fracciones simples.

INTEGRAL iNDEFINIDA
Integral indefinida
Llamamos al conjunto de todas antiderivadas de una función la integral indefinida de la función. Escribimos la integral indefinida de la función f como
    f(x) dx
y la leemos como "la integral indefinida de f(x) respecto a x" Por lo tanto, 
f(x) dx es una conjunto de funciones; no es una función sola, ni un número. La función f que se está integrando se llama el integrando, y la variable x se llama la variable de integración.
Ejemplos
    2x dx = x2 + C    		   La intgegral indefinida de 2x respecto a x es x2 + C
    4x3 dx = x4 + C    		   La integral indefinida de 4x3 respecto a x es x4 + C
Leyendo la formula
Leemos la primera formula más arriba como sigue:
2xdx=x2 + C
La antiderivadade 2x,respecto a x,es igual ax2 + C

                                          


INTEGRAL INDEFINIDA DE UNA CONSTANTE 

En cálculo, la integral indefinida de una función dada (es decir, el conjunto de todas las primitivas de la función) se escribe siempre con una constante, la constante de integración.1 2 Esta constante expresa una ambigüedad inherente a la construcción de primitivas. Si una función f está definida en un intervalo y F es una primitiva de f, entonces el conjunto de todas las primitivas de f viene dado por las funciones F (x) + C, siendo C, una constante arbitraria.
La derivada de cualquier función constante es cero. Una vez se ha encontrado una primitiva F, sumándole o restándole una constante C se obtiene otra primitiva, porque (F + C) ' = F ' + C ' = F'. La constante es una manera de expresar que cada función tiene un número infinito de primitivas diferentes.
Por ejemplo, supóngase que se quiere encontrar las primitivas de cos(x). Una de estas primitivas es sin(x). Otra es sin(x)+1. Una tercera es sin(x)-π. Cada una de estas funciones tiene por derivada cos(x), por lo tanto todas son primitivas de cos(x). Resulta que añadir y restar constantes es el único grado de libertad que hay al encontrar primitivas diferentes de la misma función. Es decir, todas las primitivas son las mismas con la diferencia de una constante. Para expresar este hecho para cos(x), se escribe:
\int \cos(x)\,dx = \sin(x) + C.
Sustituyendo C por un número cualquiera, se obtiene una primitiva. En cambio, escribiendo C en vez de un número se obtiene una descripción compacta de todas las primitivas posibles de cos(x). C se denomina constante de integración. Se puede comprobar fácilmente que todas estas funciones son, en efecto, primitivas de cos(x):

{d\over dx}[\sin(x) + C]= {d\over dx}[\sin(x)] + {d\over dx}(C)
= \cos(x) + 0\,

INTEGRACIÓN POR PARTES
El método de integración por partes permite calcular laintegral de un producto de dos funciones aplicando lafórmula :
Las funciones logarítmicas, "arcos" y polinómicas se eligen como u.
Las funciones exponenciales y trígonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como v'.
Si al integrar por partes aparece en el segundo miembro la integral que hay que calcular, se resuelve como una ecuación.
integral
derivar
operaciones
integrar
derivar
integrar
integral
integral

Integrales de funciones trigonométricas

Con carácter general un cambio que resulta muchas veces útil expresar las potencias funciones trigonométricas mediante funciones de ángulos múltiples, eso puede lograrse gracias a las siguientes identidades:
\begin{matrix} \cos^{2n+1} x = \left( \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\right)^{2n+1} = \cfrac{1}{2^{2n}} \sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} 2n+1 \\ k \end{pmatrix} \cos{((2n+1)-2k)x} \\ \cos^{2n} x = \left( \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\right)^{2n} = \cfrac{1}{2^{2n}} \begin{pmatrix} 2n \\ n \end{pmatrix} + \ \cfrac{2}{2^{2n}} \sum_{k=0}^{n-1} \begin{pmatrix} 2n \\ k \end{pmatrix} \cos{(2n-2k)x} \end{matrix}

Integral que contiene potencias de senos y cosenos \int \sin^{n}x\cos^{m}xdx[editar]

  • En general, se intenta escribir un integrando en el que intervienen potencias de seno y coseno en una forma donde se tiene sólo un factor seno (y el resto de la expresión en términos de coseno) o sólo un factor coseno (y el resto de la expresión en términos de seno).
  • La identidad \sin^2x + \cos^2x = 1 permite convertir de una parte a otra entre potencias pares de seno y coseno.
Existen 3 casos:

Cuando n es impar[editar]

Cuando \scriptstyle n=2k+1, podemos apartar un factor del seno y sustituirlo por la identidad \sin^{2}x=1 - \cos^{2}x para poder expresar los factores restantes en términos del coseno:
\int \sin^{2k+1}x \cos^{m}x dx
\int \sin^{2k}x \cos^{m}x \sin x dx
\int (\sin^{2}x)^{k}\cos^{m}x \sin x dx
\int (1-\cos^{2}x)^{k} \cos^{m}x\sin x dx


Integrales que contiene potencias de tangentes y secantes \int \sec^{n}x\tan^{m}xdx[editar]

  • Se puede usar una estrategia similar a la anterior.
Puesto que:
\left( \frac{d}{dx} \right)\tan x = \sec^2x, se puede separar un factor \sec^2x y convertir la potencia restante (par) de la secante en una expresión relacionada con la tangente por medio de la identidad \sec^2x = 1 + \tan^2x.
O bien, puesto que:
\frac{d}{dx}\sec x = \sec x \tan x, se puede separar un factor \sec x \tan x y convertir la potencia restante (par) de tangente a secante.
Existen 3 casos:

Cuando n es par

n=2k separar un factor de \sec^{2}x y utilice \sec^{2}x=1 + \tan^{2}x para lograr expresar los factores restantes en términos de \tan x:
\int \sec^{2k}x\;\tan^{m}xdx
\int \sec^{2k-2}x\;\tan^{m}x\;\sec^{2}xdx
\int (\sec^{2}x)^{k-1}\;\tan^{m}x\;\sec^{2}xdx
\int [1 + \tan^{2}x]^{k-1}\;\tan^{m}x\;\sec^{2}xdx

Integrales de funciones racionales

Dada una función racional expresable como el cociente de dos polinomios:
f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}, \qquad P(x),Q(x)\in \R[x]
Si el denominador es un polinómico mónico \scriptstyle Q(x) con k raíces diferentes, entonces admitirá la siguiente factorización en términos de polinomio irreducibles:
\begin{cases} Q(x) = (x-r_1)^{m_1} (x-r_2)^{m_2} \dots (x-r_k)^{m_k} (x^2+s_1x+t_1)^{n_1} \dots (x^2+s_lx+t_l)^{n_l}\\ k,l,m_i,n_j\in \mathbb{N},\ r_p,s_p,t_p \in \R \end{cases}
Si \scriptstyle \mbox{gr}(P) < \mbox{gr}(Q) entonces la función racional puede escribirse como combinación lineal de fracciones racionales de las formas:
\begin{matrix} f_1(x) = \cfrac{1}{(x-r_i)} & f_2(x)= \cfrac{1}{(x-r_i)^{u}} \\ f_3(x) = \cfrac{1}{x^2+a^2} & f_4(x) = \cfrac{1}{(x^2+a^2)^{v}} \\ f_5(x) = \cfrac{x}{x^2+a^2} & f_6(x) = \cfrac{x}{(x^2+a^2)^{w}} \end{matrix}
Por lo que la integral de la función \scriptstyle f(x) es una combinación lineal de funciones de la forma:
\begin{matrix} F_1(x) = \ln(x-r_i) & F_2(x)= \cfrac{1-u}{(x-r_i)^{u-1}} \\ F_3(x) = \cfrac{1}{a}\arctan \cfrac{x}{a} & F_4(x) = \cfrac{1}{2a^2}\left( \cfrac{x}{(v-1)(x^2+a^2)^{v-1}} + \cfrac{2v-3}{v-1} \int \cfrac{dx}{(x^2+a^2)^{v-1}} \right) \\ F_5(x) = \cfrac{1}{2}\ln(x^2+a^2) & F_6(x) = \cfrac{-1}{2(w-1)(x^2+a^2)^{w-1}} \end{matrix}

Integración numérica


La integración numérica comprende una amplia gama de algoritmos para calcular el valor numérico de una integral definida. A efectos prácticos se usa cuando no se conoce un método analítico de integración o la función primitiva resulta tan complicada que para una aplicación práctica resulta más útil buscar directamente su valor numérico. El término cuadratura numérica (a menudo abreviado a cuadratura) es más o menos sinónimo de integración numérica, especialmente si se aplica a integrales de una dimensión a pesar de que para el caso de dos o más dimensiones (integral múltiple) también se utiliza.

 Determinación de funciones compuestas
Sean f(x) = x
2 − l y g(x) = 3x+5.
(a) Encontrar ( f g)(x) y el dominio de f g.
(b) Determinar (g f )(x) y el dominio de g f.
(c) Calcular f(g (2)) de dos maneras: primero
empleando las funciones f y g por separado, y
segundo, con la función compuesta f g.
Solución
(a)
(f g)(x) = f(g(x)) definición de f g
 = f(3x + 5) definición de g
 = (3x + 5)2 − 1 definición de f
 = 9x
2 + 30x + 24 se simplifica
El dominio tanto de f como de g es R. Como para cada x en R (el
dominio de g), el valor de la función g(x) está en R (el dominio de

f ), el dominio de f g también es R

CONCLUSIÓN
Mi conclusión sobre esta unidad es que las integrales se me hizo un tema mas complicado ya que vimod las integrales trigonométricas exponenciales etc.

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