MATEMATICAS

miércoles, 26 de noviembre de 2014

MODULO 4
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES
En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto deecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

$\left \{ \begin{array}{rcrcrcr} 3 \,x_1 & + & 2\,x_2 & + & \,x_3 & = & 1 \\ 2 \,x_1 & + & 2\,x_2 & + & 4 \,x_3 & = & -2 \\ - \,x_1 & + & \frac{1}{2} \,x_2 & - & \,x_3 & = & 0 \end{array} \right .$

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x₁, x₂ y x₃ que satisfacen las tres ecuaciones.

El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.

En general, un sistema con m ecuaciones lineales y n incógnitas puede ser escrito en forma normal como:

$\begin{matrix} a_{11}x_1 & + a_{12}x_2 & + \dots & + a_{1n}x_n & = b_1 \\ a_{21}x_1 & + a_{22}x_2 & + \dots & + a_{2n}x_n & = b_2 \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{m1}x_1 & + a_{m2}x_2 & + \dots & + a_{mn}x_n & = b_m \end{matrix}$

Donde

x_1,\dots,x_n

son las incógnitas y los números

a_{ij}\in\mathbb{K}

son los coeficientes del sistema sobre el cuerpo

\mathbb{K}\ [= \R, \mathbb{C}, \dots]

. Es posible reescribir el sistema separando con coeficientes con notación matricial:

(1) $\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{bmatrix}$

Si representamos cada matriz con una única letra obtenemos:

$\mathbf{Ax} = \mathbf{b}$

martes, 25 de noviembre de 2014

MODULO 3
INTEGRAL INDEFINIDA

ÁREA BAJO LA CURVA
Enseguida, graficaremos una función en un intervalo [a,b] y se mostrará el área contenida entre su gráfica y el eje x en

Igual que con el problema de la tangente, empezaremos por hacer aproximaciones. Aproximaremos el área bajo la curva con el área de ciertos rectángulos.
int_graf_02.gif (5443 bytes)

Dada una función f(x)>0 en un intervalo [a,b], para encontrar el área bajo la curva procedemos como sigue:

Hacemos una partición (dividimos) del intervalo [a,b] en n-subintervalos iguales de longitud x=(b-a)/n. Esta será la longitud de la base de cada uno de los n rectángulos.
En cada subintervalo escogemos un valor especial de x para evaluar la función. A este valor lo denotamos como x* y entonces f(x*) es la altura del rectángulo en ese subintervalo.
Ahora sumamos las áreas de los n rectángulos. El área de los n rectángulos es entonces:

n
	[ f(x)(x)*]
k=1

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO

El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisis matemático o cálculo.

El teorema es fundamental porque hasta entonces el cálculo aproximado de áreas -integrales- en el que se venía trabajando desde Arquímedes, era una rama de las matemáticas que se seguía por separado al cálculo diferencial que se venía desarrollando por Isaac Newton, Isaac Barrow y Gottfried Leibniz en el siglo XVIII y dio lugar a conceptos como el de las derivadas. Las integrales eran investigadas como formas de estudiar áreas y volúmenes, hasta que en ese punto de la historia ambas ramas convergieron, al demostrarse que el estudio del "área bajo una función" estaba íntimamente vinculado al cálculo diferencial, resultando la integración, la operación inversa a la derivación.

Una consecuencia directa de este teorema es la regla de Barrow, denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, y que permite calcular la integral de una función utilizando la integral indefinida de la función al ser integrada.

Dada una función f integrable sobre el intervalo

[a,b]

, definimos F sobre

[a,b]

por

F(x) = {\int_{a}^x f(t)dt}

. Si f escontinua en

c \in (a,b)

, entonces F es derivable en

c

y F'(c) = f(c).

Consecuencia directa del primer teorema fundamental del cálculo infinitesimal es:

$\frac{d}{dx}{\int_{a(x)}^{b(x)}f(t)dt} = f(b(x)) \cdot b'(x) - f(a(x)) \cdot a'(x)$

Ejemplos[editar]

F(x) = \int_{0}^{x} t^2 dt \quad\Rightarrow\quad F'(x) = x^2

G(x) = \int_{0}^{e^{3x}} \sin(t) dt \quad\rightarrow\quad G'(x) = \sin(e^{3x}) e^{3x} \cdot3

H(x) = \int_{0}^{x^2} \arcsin(t) dt\quad \rightarrow\quad H'(x) = \arcsin(x^2) \cdot 2x

I(x) = \int_{0}^{x^2} \arcsin(t) dt\quad \rightarrow\quad I'(x) = \arcsin(x^2) \cdot 2x

J(x) = \int_{0}^{\int_{a}^{x} \frac{1}{(1+\sin^2t)}dt} \frac{1}{(1+\sin^2t)} dt\quad \rightarrow\quad J'(x)= \frac{1}{(1+\sin^2(\int_{a}^{x} \frac{1}{(1+\sin^2t)}dt))} \,\cdot\, \frac{1}{(1+\sin^2x)}

INTEGRAL DEFINIDA

Dada una función f(x) y un intervalo [a,b], la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b.

La integral definida se representa por .

∫ es el signo de integración.

a límite inferior de la integración.

b límite superior de la integración.

f(x) es el integrando o función a integrar.

dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra

Propiedades de la integral definida

1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.

2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.

3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].

4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales·

5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

EL ÁREA ENTRE DOS CURVAS

En esta sección estudiaremos como calcular el área entre dos curvas.

El problema es el siguiente: Dadas dos funciones f y g , encontrar el área contenida entre sus gráficas en el intervalo [a,b] .

Para ilustrar el problema y el procedimiento, observa el siguiente ejemplo.

CONCLUSIÓN

Lo que yo concluyo es que estos temas son muy importantes ya que nos sirven mucho para nuestra vida cotidiana.

MODULO 2
INTEGRACIÓN

ANTI DERIVADA

La antiderivada es la función que resulta del proceso inverso de la derivación, es decir, consiste en encontrar una función que, al ser derivada produce la función dada.

Por ejemplo:

Si f(x) = 3×2, entonces, F(x) = x3, es una antiderivada de f(x). Observe que no existe una derivada única para cada función. Por ejemplo, si G(x) = x3+ 5, entonces es otra antiderivada de f(x).

La antiderivada también se conoce como la primitiva o la integral indefinida se expresa de la siguiente manera: en donde: f(x) es el integrando; dx, la variable de integración o diferencial de x y C es la constante de integración.

Notación

La notación que emplearemos para referirnos a una antiderivada es la siguiente:

Teorema

Si dos funciones h y g son antiderivadas de una misma función f en un conjunto D de números reales, entonces esas dos funciones h y g solo difieren en una constante.

Conclusión: Si g(x) es una antiderivada de f en un conjunto D de números reales, entonces cualquier antiderivada de f es en ese conjunto D se puede escribir como Monografias.com

c constante real.

Fórmula que relaciona la integral definida y la indefinida

A la hora de resolver una antiderivada o integral indefinida se deben tener disponibles los recursos aritméticos y heurísticos. Estos son:

Concepto.
Propiedades.
Reglas de integración.
Integrales inmediatas.
Métodos clásicos de integración:

-Integración por sustitución.

-Integración por partes.

-Integración de fracciones racionales mediante fracciones simples.

Uso de tablas.
Integración de funciones trigonométricas sencillas.
Integración de funciones racionales sencillas.

INTEGRAL iNDEFINIDA

Integral indefinida

Llamamos al conjunto de todas antiderivadas de una función la integral indefinida de la función. Escribimos la integral indefinida de la función f como

f(x) dx

y la leemos como "la integral indefinida de f(x) respecto a x" Por lo tanto,

f(x) dx es una conjunto de funciones; no es una función sola, ni un número. La función f que se está integrando se llama el integrando, y la variable x se llama la variable de integración.

Ejemplos

2x dx = x² + C

La intgegral indefinida de 2x respecto a x es x² + C

4x³ dx = x⁴ + C

La integral indefinida de 4x³ respecto a x es x⁴ + C

Leyendo la formula

Leemos la primera formula más arriba como sigue:

	2x	dx	=	x² + C
La antiderivada	de 2x,	respecto a x,	es igual a	x² + C

INTEGRAL INDEFINIDA DE UNA CONSTANTE

En cálculo, la integral indefinida de una función dada (es decir, el conjunto de todas las primitivas de la función) se escribe siempre con una constante, la constante de integración.¹ ² Esta constante expresa una ambigüedad inherente a la construcción de primitivas. Si una función f está definida en un intervalo y F es una primitiva de f, entonces el conjunto de todas las primitivas de f viene dado por las funciones F (x) + C, siendo C, una constante arbitraria.

La derivada de cualquier función constante es cero. Una vez se ha encontrado una primitiva F, sumándole o restándole una constante C se obtiene otra primitiva, porque (F + C) ' = F ' + C ' = F'. La constante es una manera de expresar que cada función tiene un número infinito de primitivas diferentes.

Por ejemplo, supóngase que se quiere encontrar las primitivas de cos(x). Una de estas primitivas es sin(x). Otra es sin(x)+1. Una tercera es sin(x)-π. Cada una de estas funciones tiene por derivada cos(x), por lo tanto todas son primitivas de cos(x). Resulta que añadir y restar constantes es el único grado de libertad que hay al encontrar primitivas diferentes de la misma función. Es decir, todas las primitivas son las mismas con la diferencia de una constante. Para expresar este hecho para cos(x), se escribe:

\int \cos(x)\,dx = \sin(x) + C.

Sustituyendo C por un número cualquiera, se obtiene una primitiva. En cambio, escribiendo C en vez de un número se obtiene una descripción compacta de todas las primitivas posibles de cos(x). C se denomina constante de integración. Se puede comprobar fácilmente que todas estas funciones son, en efecto, primitivas de cos(x):

${d\over dx}[\sin(x) + C]$	$= {d\over dx}[\sin(x)] + {d\over dx}(C)$
	$= \cos(x) + 0\,$
INTEGRACIÓN POR PARTES

El método de integración por partes permite calcular laintegral de un producto de dos funciones aplicando lafórmula :

Las funciones logarítmicas, "arcos" y polinómicas se eligen como u.

Las funciones exponenciales y trígonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como v'.

Si al integrar por partes aparece en el segundo miembro la integral que hay que calcular, se resuelve como una ecuación.

Integrales de funciones trigonométricas

Con carácter general un cambio que resulta muchas veces útil expresar las potencias funciones trigonométricas mediante funciones de ángulos múltiples, eso puede lograrse gracias a las siguientes identidades:

$\begin{matrix} \cos^{2n+1} x = \left( \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\right)^{2n+1} = \cfrac{1}{2^{2n}} \sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} 2n+1 \\ k \end{pmatrix} \cos{((2n+1)-2k)x} \\ \cos^{2n} x = \left( \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\right)^{2n} = \cfrac{1}{2^{2n}} \begin{pmatrix} 2n \\ n \end{pmatrix} + \ \cfrac{2}{2^{2n}} \sum_{k=0}^{n-1} \begin{pmatrix} 2n \\ k \end{pmatrix} \cos{(2n-2k)x} \end{matrix}$

Integral que contiene potencias de senos y cosenos $\int \sin^{n}x\cos^{m}xdx$ [editar]

En general, se intenta escribir un integrando en el que intervienen potencias de seno y coseno en una forma donde se tiene sólo un factor seno (y el resto de la expresión en términos de coseno) o sólo un factor coseno (y el resto de la expresión en términos de seno).
La identidad $\sin^2x$ $+$ $\cos^2x$ $=$ $1$ permite convertir de una parte a otra entre potencias pares de seno y coseno.

Existen 3 casos:

Cuando n es impar[editar]

Cuando

\scriptstyle n=2k+1

, podemos apartar un factor del seno y sustituirlo por la identidad

\sin^{2}x=1 - \cos^{2}x

para poder expresar los factores restantes en términos del coseno:

$\int \sin^{2k+1}x \cos^{m}x dx$
$\int \sin^{2k}x \cos^{m}x \sin x dx$
$\int (\sin^{2}x)^{k}\cos^{m}x \sin x dx$
$\int (1-\cos^{2}x)^{k} \cos^{m}x\sin x dx$

Integrales que contiene potencias de tangentes y secantes $\int \sec^{n}x\tan^{m}xdx$ [editar]

Se puede usar una estrategia similar a la anterior.

Puesto que:

\left( \frac{d}{dx} \right)\tan x = \sec^2x

, se puede separar un factor

\sec^2x

y convertir la potencia restante (par) de la secante en una expresión relacionada con la tangente por medio de la identidad

\sec^2x = 1 + \tan^2x

O bien, puesto que:

\frac{d}{dx}\sec x = \sec x \tan x

, se puede separar un factor

\sec x \tan x

y convertir la potencia restante (par) de tangente a secante.

Existen 3 casos:

Cuando n es par

n=2k

separar un factor de

\sec^{2}x

y utilice

\sec^{2}x=1 + \tan^{2}x

para lograr expresar los factores restantes en términos de

\tan x

$\int \sec^{2k}x\;\tan^{m}xdx$
$\int \sec^{2k-2}x\;\tan^{m}x\;\sec^{2}xdx$
$\int (\sec^{2}x)^{k-1}\;\tan^{m}x\;\sec^{2}xdx$
$\int [1 + \tan^{2}x]^{k-1}\;\tan^{m}x\;\sec^{2}xdx$

Integrales de funciones racionales

Dada una función racional expresable como el cociente de dos polinomios:

$f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}, \qquad P(x),Q(x)\in \R[x]$

Si el denominador es un polinómico mónico

\scriptstyle Q(x)

con k raíces diferentes, entonces admitirá la siguiente factorización en términos de polinomio irreducibles:

$\begin{cases} Q(x) = (x-r_1)^{m_1} (x-r_2)^{m_2} \dots (x-r_k)^{m_k} (x^2+s_1x+t_1)^{n_1} \dots (x^2+s_lx+t_l)^{n_l}\\ k,l,m_i,n_j\in \mathbb{N},\ r_p,s_p,t_p \in \R \end{cases}$

\scriptstyle \mbox{gr}(P) < \mbox{gr}(Q)

entonces la función racional puede escribirse como combinación lineal de fracciones racionales de las formas:

$\begin{matrix} f_1(x) = \cfrac{1}{(x-r_i)} & f_2(x)= \cfrac{1}{(x-r_i)^{u}} \\ f_3(x) = \cfrac{1}{x^2+a^2} & f_4(x) = \cfrac{1}{(x^2+a^2)^{v}} \\ f_5(x) = \cfrac{x}{x^2+a^2} & f_6(x) = \cfrac{x}{(x^2+a^2)^{w}} \end{matrix}$

Por lo que la integral de la función

\scriptstyle f(x)

es una combinación lineal de funciones de la forma:

$\begin{matrix} F_1(x) = \ln(x-r_i) & F_2(x)= \cfrac{1-u}{(x-r_i)^{u-1}} \\ F_3(x) = \cfrac{1}{a}\arctan \cfrac{x}{a} & F_4(x) = \cfrac{1}{2a^2}\left( \cfrac{x}{(v-1)(x^2+a^2)^{v-1}} + \cfrac{2v-3}{v-1} \int \cfrac{dx}{(x^2+a^2)^{v-1}} \right) \\ F_5(x) = \cfrac{1}{2}\ln(x^2+a^2) & F_6(x) = \cfrac{-1}{2(w-1)(x^2+a^2)^{w-1}} \end{matrix}$

Integración numérica

La integración numérica comprende una amplia gama de algoritmos para calcular el valor numérico de una integral definida. A efectos prácticos se usa cuando no se conoce un método analítico de integración o la función primitiva resulta tan complicada que para una aplicación práctica resulta más útil buscar directamente su valor numérico. El término cuadratura numérica (a menudo abreviado a cuadratura) es más o menos sinónimo de integración numérica, especialmente si se aplica a integrales de una dimensión a pesar de que para el caso de dos o más dimensiones (integral múltiple) también se utiliza.

Determinación de funciones compuestas
Sean f(x) = x
2 − l y g(x) = 3x+5.
(a) Encontrar ( f g)(x) y el dominio de f g.
(b) Determinar (g f )(x) y el dominio de g f.
(c) Calcular f(g (2)) de dos maneras: primero
empleando las funciones f y g por separado, y
segundo, con la función compuesta f g.
Solución
(a)
(f g)(x) = f(g(x)) definición de f g
= f(3x + 5) definición de g
= (3x + 5)2 − 1 definición de f
= 9x
2 + 30x + 24 se simplifica
El dominio tanto de f como de g es R. Como para cada x en R (el
dominio de g), el valor de la función g(x) está en R (el dominio de

f ), el dominio de f g también es R

CONCLUSIÓN
Mi conclusión sobre esta unidad es que las integrales se me hizo un tema mas complicado ya que vimod las integrales trigonométricas exponenciales etc.